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Uncertainty Quantification Module

Comprendere e caratterizzare l'incertezza del modello

L'Uncertainty Quantification Module è usato per capire l'impatto dell'incertezza del modello, ovvero come le quantità di interesse dipendano dalle variazioni negli input di un modello. Offre un'interfaccia generale per lo screening, l'analisi della sensibilità, la propagazione dell'incertezza e l'analisi dell'affidabilità.

L'Uncertainty Quantification Module può testare in modo efficiente la validità delle ipotesi del modello, semplificare in modo convincente i modelli, identificare l'input chiave delle quantità di interesse, esplorare la distribuzione di probabilità delle quantità di interesse e scoprire l'affidabilità di un progetto. La garanzia della correttezza del modello e la maggiore comprensione delle quantità di interesse aiutano a ridurre i costi di produzione, sviluppo e fabbricazione.

L'Uncertainty Quantification Module può essere usato con i prodotti della suite COMSOL per analizzare le incertezze nelle simulazioni elettromagnetiche, strutturali, acustiche, di fluidodinamica, di calore e di ingegneria chimica. È possibile combinarlo con il CAD Import Module, con il Design Module o con uno qualsiasi dei prodotti LiveLink™ per il CAD.

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Interfaccia utente di COMSOL Multiphysics che mostra alcuni risultati dello studio Uncertainty Quantification, con un grafico dell'indice di Sobol, un grafico Kernel Density Estimation e una tabella dell'intervallo di confidenza.
Visualizzazione in primo piano delle impostazioni per i parametri di input e le quantità di interesse per un modello COMSOL Multiphysics.

Parametri di input e quantità di interesse

Quando si esegue uno studio di quantificazione dell'incertezza, si definisce un insieme di quantità di interesse nei termini di una soluzione del modello COMSOL Multiphysics®. In questo modo, le quantità di interesse sono funzioni dei parametri di input.

Nel caso di un'analisi strutturale, le quantità di interesse possono essere lo spostamento massimo, la sollecitazione o l'angolo di deflessione. Per un'analisi di trasferimento di calore o CFD, le quantità di interesse possono essere la temperatura massima, la perdita totale in calore o la portata totale del fluido. Per una simulazione elettromagnetica, possono essere resistenza, capacità o induttanza. Poiché l'Uncertainty Quantification Module è applicabile a qualsiasi modello fisico calcolato con il software COMSOL Multiphysics®, così come a qualsiasi espressione matematica di varie quantità di campo risolte, le scelte per la vostra quantità di interesse sono infinite.

Qualsiasi input incerto del modello, che sia un'impostazione fisica, una dimensione geometrica, una proprietà del materiale o un'impostazione di discretizzazione, può essere trattato come un parametro di input, e qualsiasi output del modello può essere usato per definire le quantità di interesse. I parametri di ingresso possono essere campionati analiticamente con distribuzioni di probabilità o con dati specificati dall'utente. I parametri di ingresso campionati analiticamente possono essere correlati e non correlati, dove i parametri di ingresso correlati possono essere raggruppati in gruppi di correlazione e campionati con il metodo della copula gaussiana.

Screening

Il tipo di studio Screening, MOAT implementa un metodo leggero di screening globale che dà una misura qualitativa dell'importanza di ogni parametro di input. Il metodo è basato puramente sul campione, usando il metodo Morris one-at-a-time (MOAT), e richiede un numero relativamente piccolo di valutazioni del modello COMSOL. Questo lo rende un metodo ideale quando il numero di parametri di input è troppo grande per permettere studi di quantificazione dell'incertezza più costosi dal punto di vista computazionale.

Per ogni quantità di interesse, il metodo MOAT calcola la media MOAT e la deviazione standard MOAT per ciascun parametro di input. Questi valori sono presentati in un diagramma di dispersione MOAT. La classificazione della media MOAT e delle deviazioni standard MOAT fornisce l'importanza relativa dei parametri di input. Un alto valore della media MOAT implica che il parametro sta influenzando significativamente la quantità di interesse. Un alto valore della deviazione standard MOAT implica che il parametro è influente e che sta interagendo fortemente con altri parametri o che ha un'influenza non lineare, o entrambi.

Interfaccia utente di COMSOL Multiphysics che mostra il Model Builder con il nodo Uncertainty Quantification evidenziato, la finestra Settings corrispondente e un diagramma di dispersione MOAT nella finestra Graphics.
Grafico dell'indice Sobol per una quantità di interesse, dove x1 è mostrato come barre in blu, x2 in verde, x3 in rosso e x4 in verde acqua.

Analisi di sensibilità

Il tipo di studio Sensitivity Analysis è usato per calcolare in che misura le quantità di interesse siano sensibili rispetto ai parametri di input. Questo tipo di studio include due metodi: il metodo Sobol e il metodo della correlazione.

Il metodo Sobol analizza l'intera distribuzione dei parametri di input e decompone la varianza di ogni quantità di interesse in una somma di contributi dai parametri di input e dalle loro interazioni.

Per ogni parametro di input, il metodo Sobol calcola gli indici Sobol. L'indice Sobol di primo ordine mostra la varianza di una quantità di interesse attribuita alla varianza di ogni parametro di input individualmente. L'indice Sobol totale mostra la varianza di una quantità di interesse attribuita alla varianza di ogni parametro di input e alla sua interazione con gli altri parametri di input. Gli indici di Sobol per ogni quantità di interesse e tutti i parametri sono presentati in un grafico specifico Sobol dove gli istogrammi sono ordinati per indice Sobol totale. La quantità di interesse è più sensibile al parametro di input con il più alto indice Sobol totale. La differenza tra indice Sobol totale e indice Sobol di primo ordine per un parametro di input misura l'effetto dell'interazione tra questo input e gli altri.

Rispetto al metodo di screening, l'analisi di sensibilità è usata per analizzare quantitativamente come le incertezze nelle quantità di interesse si ripartiscano tra i diversi parametri di input. Questo metodo richiede più risorse computazionali poiché il calcolo degli indici di Sobol accurati si basa su un modello surrogato di alta qualità.

Il metodo di correlazione calcola la relazione lineare e monotona tra ogni parametro di input e le quantità di interesse. Per l'analisi di sensibilità basata sul metodo di correlazione, vengono calcolati quattro tipi di correlazioni: bivariata, classificata bivariata, parziale o classificata parziale.

Propagazione dell'incertezza

Il tipo di studio Uncertainty Propagation è usato per analizzare come le incertezze dei parametri di input si propaghino a ogni quantità di interesse, stimando la loro funzione di densità di probabilità (PDF). La fisica sottostante che attribuisce i parametri di input alle quantità di interesse attraverso le valutazioni del modello COMSOL Multiphysics® è per la maggior parte delle applicazioni impossibile da calcolare analiticamente.

Per questo motivo, è necessaria un'analisi Monte Carlo per approssimare le PDF. Come nel caso del metodo Sobol, si usa un modello surrogato per ridurre drasticamente il costo computazionale dell'analisi Monte Carlo. Per ogni quantità di interesse, viene eseguita una stima della densità del kernel (KDE) e viene visualizzata come un grafico, come approssimazione della PDF. Inoltre, sulla base di questa analisi, una tabella di intervallo di confidenza fornisce, per ogni quantità di interesse, la media, la deviazione standard, il minimo, il massimo e i valori limite inferiore e superiore corrispondenti ai livelli di confidenza del 90%, 95% e 99%.

Grafico a linee di stima della densità del kernel con KDE come asse y e "previsto" come asse x.
Grafico 1D che mostra due quantità di interesse e una regione ombreggiata in cui i parametri di input soddisfano i criteri di affidabilità.

Analisi di affidabilità

Rispetto ad altri tipi di studi di quantificazione dell'incertezza, che indagano l'incertezza complessiva delle quantità di interesse, il metodo Reliability analysis, EGRA affronta una domanda più diretta. Dato un progetto nominale e alcuni input incerti specifici, qual è la probabilità che il progetto fallisca? Un fallimento può significare il cedimento completo del progetto, ma può anche essere formulato in termini di un criterio di qualità.

Per garantire l'affidabilità, l'approccio tradizionale di modellazione e simulazione è quello di utilizzare margini di sicurezza e scenari peggiori. Con una corretta analisi di affidabilità, è possibile evitare la sovrastima e la sottostima, poiché si possono fare stime della probabilità reale. Una stima approssimativa può essere tratta dalla tabella degli intervalli di confidenza dalla propagazione dell'incertezza per ogni quantità di interesse. Ma con l'analisi di affidabilità è possibile definire un criterio di affidabilità più sofisticato basato su combinazioni di quantità di interesse e soglie corrispondenti. Il metodo dell'analisi di affidabilità globale efficiente (EGRA) usato per lo studio dell'analisi di affidabilità dirige efficientemente le risorse computazionali a quel limite che separa il fallimento e il successo di un progetto.

Modelli surrogati e superfici di risposta

Le analisi di sensibilità calcolate con il metodo Sobol, la propagazione dell'incertezza e l'analisi di affidabilità si basano tutte su un'accurata analisi di tipo Monte Carlo. Questo spesso richiede un gran numero di valutazioni per ottenere una buona accuratezza. Per problemi realistici, in cui una valutazione del modello COMSOL Multiphysics® potrebbe richiedere risorse significative e in cui l'analisi di quantificazione dell'incertezza coinvolge diversi parametri, un'analisi Monte Carlo condotta solo con valutazioni del modello COMSOL Multiphysics® è computazionalmente impossibile. Una funzionalità chiave dell'Uncertainty Quantification Module è la sua capacità di addestrare e utilizzare un cosiddetto modello surrogato, noto anche come metamodello, per una particolare analisi UQ così da risparmiare risorse computazionali.

Un modello surrogato è un modello matematico compatto costruito per rappresentare e valutare le quantità di interesse nel dominio di interesse definito dai parametri di input. Questo modello è completamente indipendente dal sottostante modello COMSOL Multiphysics® e può, se addestrato correttamente, essere usato al posto del modello COMSOL Multiphysics® per predire i valori delle quantità di interesse per valori dei parametri di input diversi da quelli risolti. Il processo di costruzione di un modello surrogato è tipicamente adattivo e il modello surrogato può approssimare il modello originale con un alto grado di precisione. Le tolleranze definite dall'utente permettono di aumentare la precisione dei modelli surrogati. Un livello più alto di accuratezza richiede ulteriori valutazioni del modello COMSOL Multiphysics®.

Una volta costruito modello surrogato, è possibile effettuare una verifica indipendente per testare ulteriormente la sua validità e calcolare rapidamente i dati della superficie di risposta per l'intero spazio dei parametri di input. Si può quindi visualizzare una superficie di risposta, in cui una quantità di interesse viene tracciata rispetto a due parametri di input alla volta. I modelli surrogati sono disponibili come funzioni globali per uso generale.

Grafico della superficie di risposta nella tabella colori Rainbow.
Six plots displayed in a stacking sequence, with three plots in the Rainbow color table.

Inverse Uncertainty Quantification

Inverse uncertainty quantification (inverse UQ) is used when some of the input parameters have unknown probability distributions, known as calibration parameters. Using inverse UQ, experimental data can be propagated backward to gain insight into the statistical properties of these calibration parameters. In order to apply inverse UQ, a prior probability distribution is required for each calibration parameter before the analysis can be conducted.

Experimental data is typically available for the quantities of interest and the parameters used in experiments. There are also calibration input parameters that cannot be directly measured. For instance, consider an experiment where we want to calibrate the Young's modulus of a mechanical part. We should conduct an experiment that measures the tensile stress as a function of the specified material displacement. An inverse UQ study should then be set up to use the experimental data and prior knowledge of the Young's modulus to calibrate the probability distribution that would best reproduce the measured values of the tensile stress from the experiments. Inverse UQ can be applied to a wide range of physics-based models, including those related to structural mechanics, fluid flow, acoustics, heat transfer, electromagnetics, and chemical engineering.

To make the computation of the calibration parameters' posterior probability distributions feasible, a surrogate model is used together with a Markov chain Monte Carlo (MCMC) method. After the computation, the joint and marginal probability distributions of the calibrated input parameters can be visualized. Additionally, a confidence interval table is generated that provides information such as the mean; the standard deviation; the minimum and maximum values; and the lower- and upper-bound values corresponding to confidence levels of 90%, 95%, and 99% for each calibrated input parameter.

Ogni esigenza di business e di simulazione è diversa. Per valutare se il software COMSOL Multiphysics® soddisfa o meno le vostre esigenze, non dovete fare altro che contattarci. Parlando con uno dei nostri tecnici commerciali, riceverete consigli personalizzati ed esempi completamente documentati per aiutarvi a ottenere il massimo dalla vostra valutazione e guidarvi a scegliere l'opzione di licenza migliore per soddisfare le vostre esigenze.

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